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Uso da função de geração de momentos para a distribuição binomial

Uso da função de geração de momentos para a distribuição binomial

A média e a variância de uma variável aleatória X com uma distribuição de probabilidade binomial pode ser difícil de calcular diretamente. Embora possa ficar claro o que precisa ser feito ao usar a definição do valor esperado de X e X2, a execução real dessas etapas é um malabarismo complicado de álgebra e somatórios. Uma maneira alternativa de determinar a média e a variação de uma distribuição binomial é usar a função de geração de momento para X.

Variável aleatória binomial

Comece com a variável aleatória X e descreva a distribuição de probabilidade mais especificamente. Realizar n ensaios independentes de Bernoulli, cada um dos quais com probabilidade de sucesso p e probabilidade de falha 1 - p. Assim, a função massa de probabilidade é

f (x) = C(n , x)px(1 - p)n - x

Aqui o termo C(n , x) indica o número de combinações de n elementos tomados x de cada vez, e x pode assumir os valores 0, 1, 2, 3,…, n.

Função Geradora de Momento

Use esta função de massa de probabilidade para obter a função geradora de momento de X:

M(t) = Σx = 0n etxC(n,x)>)px(1 - p)n - x.

Torna-se claro que você pode combinar os termos com o expoente de x:

M(t) = Σx = 0n (PEt)xC(n,x)>)(1 - p)n - x.

Além disso, pelo uso da fórmula binomial, a expressão acima é simplesmente:

M(t) = (1 - p) + PEtn.

Cálculo da média

Para encontrar a média e a variância, você precisará conhecer ambos M«(0) e M"(0). Comece calculando suas derivadas e avalie cada uma delas em t = 0.

Você verá que a primeira derivada da função geradora de momento é:

M'(t) = n(PEt)(1 - p) + PEtn - 1.

A partir disso, você pode calcular a média da distribuição de probabilidade. M(0) = n(PE0)(1 - p) + PE0n - 1 = np. Isso corresponde à expressão que obtivemos diretamente da definição da média.

Cálculo da variância

O cálculo da variância é realizado de maneira semelhante. Primeiro, diferencie a função geradora de momento novamente e depois avaliamos essa derivada em t = 0. Aqui você verá isso

M"(t) = n(n - 1)(PEt)2(1 - p) + PEtn - 2 + n(PEt)(1 - p) + PEtn - 1.

Para calcular a variação dessa variável aleatória, você precisa encontrar M"(t) Aqui você tem M"(0) = n(n - 1)p2 +np. A variância σ2 da sua distribuição é

σ2 = M"(0) - M'(0)2 = n(n - 1)p2 +np - (np)2 = np(1 - p).

Embora esse método esteja um pouco envolvido, não é tão complicado quanto calcular a média e a variação diretamente da função de massa de probabilidade.